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Derivata di una funzione

Se y=f(x) definita nell'intervallo chiuso [a,b] fissiamo un punto x appartenente a questo intervallo; consideriamo un altro punto x+h appartenente anch'esso ad [a.b]. Il numero h l'incremento subìto dalla x per passare al punto x+h. In concomitanza di questo incremento, la funzione f(x) passa dal valore f(x) al valore f(x+h) quindi la funzione subisce l'incremento:



viene cos definito il rapporto incrementale



Se al tendere di h a zero il rapporto incrementale tende ad un limite finito, questo si chiama derivata (prima) della funzione f(x).

Se la derivata f'(x) esiste per ogni punto dell'intervallo [a,b] in cui definita la f(x) quest'ultima si dice derivabile nell'intervallo specificato.

L'interpretazione geometrica semplice: prendiamo un punto P appartenente al grafico della funzione, diciamo che x la sua ascissa e f(x) la sua ordinata. Poi prendiamo un altro punto Q appartenente alla funzione, di ascissa x+h e di ordinata f(x+h). Consideriamo la retta PQ (quella blu) .

Quando Q percorre la curva avvicinandosi a P, la retta PQ assume una posizione limite che possiamo ritenere tangente alla curva di funzione in P.

Dal triangolo PQR si ha:


Quando h tende a zero, Q tende a P e la secante tende alla tangente in P (linea rossa).


Ricordiamo che le tangenti tgα e tgβ sono i coefficienti angolari delle rette associate. Se ne ricava:

Il coefficiente angolare della tangente ad una linea di equazione y=f(x) in un suo punto uguale alla derivata di f(x) in quel punto.

E' possibile dimostrare che se una funzione derivabile in un punto x, essa continua in tale punto.

Teorema:Una funzione derivabile, crescente nel punto x0 se la derivata della funzione positiva in x0.
E' decrescente in x0 se la derivata negativa in x0.

Definizione: una funzione f(x) ha nel punto x0 appartenente al suo intervallo di definizione un massimo relativo, in x0, se esiste un intorno di x0, tale che la funzione sia crescente a sinistra e decrescente a destra di x0. Si ha un minimo relativo se esiste un intorno di x0, tale che in esso la funzione sia decrescente a sinistra e crescente a destra.

Teorema:Se la funzione f(x), derivabile ha un massimo o un minimo in x0; la sua derivata in x0 nulla.

Teorema di Rolle:Se una funzione definita e derivabile in ogni punto dell'intervallo [a,b] e prende valori uguali negli estremi di esso, la sua derivata si annulla almeno in un punto dell'intervallo stesso.

Teorema di Cauchy: se in un intervallo [a,b] le due funzioni f(x) e g(x) sono derivabili e la derivata di g(x) non mai nulla, in tutto l'intervallo esiste un punto x0 per il quale risulta:

Teorema di Lagrange (del valor medio):Se una f(x) derivabile in ogni punto di un intervallo ed a e b sono due punti dell'intervallo, esiste un punto x0 compreso fra a e b per il quale si ha:

Infatti tracciato il diagramma della funzione y=f(x) se A e B sono i punti appartenenti alla funzione in corrispondenza delle ascisse a e b il rapporto:


il coefficiente angolare della retta AB.

Se C il punto di ascissa x0,    il coefficiente angolare della tangente al grafico nel punto C. Il teorema esprime l'esistenza di almeno un punto all'interno dell'arco AB della curva, nel quale la tangente risulta parallela alla retta AB.

Teorema di l'Hospital:se due funzioni continue f(x) e g(x) tendono a zero per x che tende ad a, il limite del loro rapporto uguale al limite del rapporto delle loro derivate, se quest'ultimo esiste.Cio se :

Differenziale di una funzione

Se y=f(x) è derivabile si ha:     con una scrittura fuori dal segno di limite, si ha

   ovviamente con ε piccolo a piacere e con la propriet  

moltiplicando entrambi i membri dell'equazione suddetta per Δx si ha  

Δy e Δx·f'(x) sono infinitesimi dello stesso ordine dato che il limite del loro rapporto f'(x) finito. Mentre Δx·ε infinitesimo di ordine superiore rispetto a Δx e quindi a Δy in quanto

Il termine f'(x) ·Δx viene chiamata parte principale dell'infinitesimo Δy e viene chiamato differenziale di y=f(x) e indicato con dy:

Il differenziale di una funzione uguale al prodotto della derivata della funzione per l'incremento della variabile. Se f(x)=x si ha

L'incremento della variabile uguale al differenziale della variabile. Allora si pu scrivere:

Il differenziale di una funzione uguale al prodotto della derivata della funzione per il differenziale della variabile. Dalla precedente si ricava

Con locuzione imprecisa, si dice che la derivata il quoziente di due differenziali; sottintendendo il passaggio al limite per tale quoziente, dato che i termini della frazione sono infinitesimi e come tali ha solo senso parlare del limite del loro quoziente.

 

 

 

 

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