edutecnica

Premessa      

Per convenzione la direzione delle corrente elettrica in un conduttore si identifica con il flusso delle cariche positive, per cui se abbiamo un generatore di tensione, possiamo ragionevolmente pensare che la corrente elettrica venga erogata dal suo polo positivo (+).

La tensione sul generatore viene sempre indicata con una freccia che ha la punta sul + e la coda sul segno - del generatore. Ad imporre la presenza di correnti nel circuito sono, appunto, i generatori a cui si attribuisce il nome di forze elettro-motrici, abbreviato f.e.m.

Esistono poi le forze contro-elettro-motrici (f.c.e.m.) costituite dalle cadute di tensione (c.d.t.) sulle resistenze; il loro comportamento è descritto dalla legge di Ohm: la caduta di tensione su una resistenza percorsa da una corrente elettrica è data dal prodotto della corrente per la resistenza.

sia le cadute di tensione (f.c.e.m.) che i generatori (f.e.m.) sono delle differenze di potenziale (d.d.p.) : sono in ogni caso tensioni elettriche e dunque sono misurate in volt [V]=[Ω·A].

Per convenzione il senso della freccia che indica la caduta di tensione su una resistenza è contrario al senso con cui la corrente elettrica percorre quella stessa resistenza.

Nel disegno la caduta di tensione, viene chiamata VAB perché misurata tra il polo A e il polo B.
In questo caso la legge di Ohm si può scrivere come

niente ci vieta di prendere in considerazione la tensione tra il polo B ed il polo A

Come si vede se diciamo VBA la punta della freccia della tensione deve essere diretta sul polo B mentre la coda su A.

Legge di Ohm generalizzata      

La legge di Ohm può anche essere applicata a tratti di circuiti in cui siano presenti più generatori e più resistenze, in tal caso si parla di legge di Ohm generalizzata.

Quest'ultima dice che la tensione VAB esistente tra due poli A e B di un circuito risulta uguale alla alla somma algebrica delle f.e.m. che agiscono lungo il percorso che va da A a B, aumentata della somma algebrica delle cadute di tensione sulle resistenze lungo lo stesso percorso.

L'esempio più semplice è quello di un tratto di circuito, percorso da corrente con una sola resistenza ed un solo generatore

Indichiamo la corrente come uscente dal generatore. Con questo senso per la corrente, la caduta di tensione sulla resistenza V=R·i deve essere diretta in senso contrario alla corrente. L'equazione è:

se abbiamo difficoltà a costruire l'equazione, osserviamo il diagramma vettoriale seguente dove vengono messi in evidenza solo i nodi:

fissiamo (a nostro piacere) un senso convenzionalmente positivo per le tensioni (in questo caso quello orario) mettiamo al primo membro tutti i vettori, ciascuno col suo segno rispetto al senso positivo scelto, mentre al secondo membro mettiamo uno 0 (zero).

Se dovessimo cortocircuitare i due morsetti A e B si avrebbe VA=VB dunque VAB=VA-VB=0 risulterebbe

   e dal punto di vista circuitale

un ragionamento analogo si può fare in meccanica quando si studia il moto di un corpo di massa m soggetto ad una forza F e dunque interessato da una accelerazione a, applicando il secondo principio della dinamica (F=ma).

Ad esempio consideriamo un corpo collocato su un piano dotato di attrito soggetto alla forza attiva F e a una forza resistente R (l'attrito appunto). Ipotizziamo F > R dunque il corpo si muoverà con una accelerazione che ha lo stesso verso e direzione di F.

facciamo anche in questo caso, il poligono chiuso con i vettori

L'equazione è stata impostata nello stesso modo della legge di Ohm.
Nel caso in cui F=R → ma=0 → a=0 il corpo è fermo, e questo corrisponde al caso precedente di circuito chiuso (maglia chiusa).

Nel caso elettrico, l'incognita cercata è solitamente la corrente; se il valore di corrente trovato fosse negativo significa soltanto che la corrente, realmente circolante in quel ramo, ha quel valore (in modulo), ma in realtà procede in senso contrario a quello che noi avevamo inizialmente ipotizzato. Nel caso meccanico, l'incognita cercata è il più delle volte l'accelerazione; se questa risultasse negativa, significa semplicemente che l'intensità dell'accelerazione è quella trovata, ma il corpo si muoverà in senso opposto a quello che noi avevamo inizialmente ipotizzato. Le analogie tra modelli di sistemi elettrici e meccanici sono molto frequenti.

Prima legge di Kirchoff                         

La prima legge di Kirchoff è molto facile, afferma semplicemente che la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti dallo stesso nodo.

cioè, la somma algebrica delle correnti che interessano un nodo è uguale a zero.

Seconda legge di Kirchoff                    

La somma algebrica delle forze elettromotrici (f.e.m.:i generatori) e delle cadute di tensione (c.d.t: le differenze di potenziale ai capi di ogni singola resistenza) che si incontrano in una maglia chiusa è uguale a zero.

chiaramente questa formula è la diretta conseguenza della legge di Ohm generalizzata.
Facciamo un esempio pratico con il circuito seguente dove supponiamo E1+E2 > E3, per cui la corrente circolerà (plausibilmente) in senso orario.

     

Dopo aver considerato arbitrariamente come senso positivo per le tensioni il senso orario, avremo dunque:

vi è un'unica corrente che passa in successione su ogni singola resistenza (resistenze in serie).

in questo modo siamo riusciti a trovare la corrente incognita, dato che in genere i generatori e le resistenze sono noti.
Allo stesso risultato saremmo potuti arrivare attraverso altre considerazioni:

essendo il circuito iniziale un'unica maglia chiusa percorsa dall'unica corrente (i) , la stessa vede le 4 resistenze in serie ed i 3 generatori ugualmente in serie; da ciò si deduce come il circuito sia riconducibile ad un'unica resistenza

   ed un unico generatore    

In questa unica maglia chiusa si riconosce

     e         in conclusione:

che è (formalmente) lo stesso risultato di prima.

Una norma che deve essere ricordata è che in presenza di una maglia chiusa, in cui vi è un unico generatore ed un'unica resistenza, la corrente circolante può essere ottenuta dividendo il valore del generatore per il valore della resistenza.

Il caso più generale che può essere risolto coi principi di Kirchoff è il seguente:

Considerando il circuito in figura, si possono scrivere l'equazione al nodo A e due equazioni per le maglie ABC e ABD (o CABD) si fissano arbitrariamente i sensi di percorrenza positivi per le tensioni e (quelli più plausibili) per le correnti dei tre rami e si ottiene il seguente sistema:

che può essere riscritto come:

sostituendo al posto delle cadute di tensione i rispettivi valori dei prodotti tra correnti e resistenze

raccogliendo i fattori

Se la soluzione del sistema fornisce valori positivi per le correnti vuol dire che i versi scelti sono quelli reali; se qualche corrente è negativa significa che essa ha il verso opposto a quello inizialmente scelto anche se il suo modulo è quello trovato.

Le difficoltà iniziali nello studio dei teoremi fondamentali dell'elettrotecnica non riguardano tanto i problemi con maglie chiuse, ma piuttosto l'analisi di tratti di circuiti aperti come visto sopra, del tutto analogo all'esempio seguente, dove è nota la VAB (magari perché è stata rilevata con un tester). Il generatore E e la resistenza R sono ovviamente note (le scegliamo noi) , mentre non è nota la corrente (che è poi il problema più frequente).

Nel nostro caso, conviene considerare un nodo intermedio C, il cui potenziale è, ovviamente, diverso dal potenziale di A e di B.
Il potenziale di C è diverso dal potenziale di A a causa della caduta di tensione su R.
Il potenziale di C è diverso dal potenziale di B a causa della presenza della forza elettromotrice E.
Evidenziamo dunque i tre nodi A,B e C, rappresentando contestualmente le tensioni che li riguardano.
Talvolta si preferisce fare riferimento al diagramma vettoriale (1) dicendo che la generazione della VAB viene ottenuta col concorso della V a cui deve essere sottratto il contributo di E (dato che ha senso opposto). Scrivendo poi

oppure si può usare lo schema (2): si immagina la maglia aperta come una maglia virtualmente chiusa alla quale può essere applicato il secondo principio di Kirchoff, prefissando un verso arbitrario positivo per le tensioni.
Si mette 0 al primo membro dell'equazione e dall'altra parte del segno di uguaglianza si mettono tutte le tensioni, con il segno + se concordi con il senso positivo di percorrenza scelto oppure con il segno - se discordi

quest'ultimo metodo, a torto ritenuto più "macchinoso" è spesso il più efficiente.