Sinusoidi e fasori

      

Quando si vuole rappresentare un generico segnale sinusoidale la notazione privilegiata usata in elettrotecnica è

     [ I ]

Questa formula deve essere seguita dall'unità di misura della grandezza che si vuole descrivere [V] [A] etc..
La rappresentazione grafica della funzione e=e(t) sarà la seguente

Si vede come e(t)≡y(t) è la rappresentazione al passare del tempo della proiezione ortogonale del segmento di lunghezza A rotante attorno all'origine del piano x-y sull'asse delle ordinate. Abbiamo già visto come si può generare un segnale di questo tipo.
Si tratta di un moto armonico e la formula [ I ] contiene tutte le informazioni :
A=ampiezza dell'onda
ɸ=fase iniziale   [rad]
ω=2π/T=2π·f= pulsazione [rad/s]

 

          In ogni caso, la e(t) è riconducibile alla derivata di s(t)

ma se la s(t) rappresenta uno spazio, la s'(t) è una velocità.

Per rappresentare grandezze elettriche, si privilegia la forma [I] perchè ci ricordiamo come una differenza di potenziale ΔV può essere causata da un conduttore che si muove in un campo magnetico costante tramite la    legge di Faraday   :

B=campo magnetico
l= lunghezza del conduttore
v=velocità del conduttore che sta tagliando le linee di flusso magnetico.

Come si è visto nel caso di una spira rotante di sezione S

ma l'energia elettrica, viene sempre prodotta, industrialmente, da macchine rotanti, ecco perchè alla fine indichiamo il generatore di tensione in regime alternato sinusoidale con la notazione

    [ V ]

La tensione elettrica è associata ad una velocità [si preferisce la funzione sin(ω·t)] meccanica che è poi quella del conduttore in moto che taglia perpendicolarmente le linee di flusso di un campo magnetico costante B.
Dopo questa osservazione, le formule definite nella pagina sui circuiti in alternata, possono sembrare un po' più plausibili, non fosse che ad un certo punto, iniziano ad apparire i numeri complessi.
Ogni tanto, qualcuno si chiede il perché: da dove provengono i numeri complessi?

Torniamo all'equazione [II] rappresentativa il moto armonico; essa è già stata ottenuta per
l'oscillatore armonico integrando una equazione differenziale del secondo ordine omogenea

che descrive le oscillazioni di una molla;bisogna tener conto che si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea

ha come equazione caratteristica il trinomio di secondo grado

Dall'Analisi Matematica si sa che se il discriminante       l'equazione caratteristica ammette come integrale generale

    con c₁ e c₂ costanti arbitrarie.

Nel caso       l'eq.caratteristica ammette le due soluzioni reali coincidenti

       e l'integrale dell'equazione è

Nel caso      l'equazione caratteristica ammette le due soluzioni complesse coniugate:

            e l'integrale generale diventa

a questo punto bisogna ricordarsi delle formule di Eulero           si avrebbe

     [ III ]

se a c₁ e c₂ vengono assegnati i valori complessi coniugati :

   e    

l'integrale generale diventa con C₁ e C₂ costanti reali arbitrarie.

    

essendo j²=-1.

nota: normalmente l'operatore immaginario si indica con la lettera 'i' ma in elettrotecnica questo simbolo si confonde facilmente con la corrente. Dunque si usa il simbolo j.

Può essere riscritta in un altro modo

                quindi                

       sostituendo si ha

   [ IV ]

con A e ɸ costanti arbitrarie.
Quest'ultima relazione è la stessa che descrive l'oscillatore smorzato. se a<0 viene descritta da una sinusoide inviluppata in una curva esponenziale decrescente.
Al contrario se a>0 la sinusoide avrebbe delle escursioni di ampiezza progressivamente crescenti anche se è difficile immaginare un caso del genere nella realtà (si avrebbe un sistema instabile).

Invece, se l'equazione differenziale è del tipo          si ha p=0 → a=0

le radici dell'equazione caratteristica sono complesse coniugate, immaginarie pure.
L'equazione può essere ricondotta alla formula generale del moto armonico:

ɸ=ɸ/2-ɸ_o =cost.

con B=Aexp(-jɸ_o). Invece per la forma sinusoidale

      il numero complesso

è il fasore corrispondente alla funzione y(t) alla pulsazione ω.
Il fasore, è una 'fotografia' istantanea della y(t=0): indipendente dal tempo, dalla frequenza e dalla pulsazione
(tutte le grandezze di un sistema lineare sono isofrequenziali dunque hanno la stessa pulsazione).
Esso corrisponde alla rappresentazione polare di un numero complesso.
Come numero complesso, un fasore può essere disegnato sul piano di Gauss sotto forma di vettore

Per la formula di Eulero

      con        

La rappresentazione in forma polare tipica di un fasore è vantaggiosa quando bisogna eseguire il prodotto tra due sinusoidi.

perchè per le proprietà degli esponenziali

o il rapporto tra due sinusoidi

Nel caso della somma o differenza tra sinusoidi si è però obbligati a trasformare il fasore nella sua forma simbolica binomiale

per poi tornare alla forma polare