edutecnica

 


Filtri      

Un filtro è un circuito selettivo in frequenza che lascia passare i segnali in una certa banda e blocca, oppure attenua, i segnali al di fuori di tale banda. I filtri possono essere attivi o passivi.

- I filtri passivi, usano solo componenti passivi (resistenze, condensatori e induttanze).
- I filtri attivi, oltre ai componenti passivi prevedono la presenza di componenti attivi come BJT, ed A.O.

Come si può intuire, i filtri attivi sono preferibili a quelli passivi, dato che introducono un guadagno (il segnale nella banda passante viene amplificato) anche se di necessitano alimentazione, introducono rumore elettrico e sono suscettibili di deriva termica.

Filtri attivi del I°ordine, passa-basso      

E' consuetudine considerare la reattanza capacitiva    

utilizzando la pulsazione complessa s=σ+jω che soltanto in regime sinusoidale puro coincide con la pulsazione ordinaria: s=jω .

E' possibile costruire un filtro attivo del I°ordine, attraverso la seguente soluzione circuitale:

essendo l'amplificatore invertente, dalla formula che esprime l'amplificazione    si ha:


Se invece volessimo usare una configurazione . non invertente con amplificazione  

Notiamo come in entrambi i casi (a meno del segno) la funzione di trasferimento sia riconducibile alla forma:


Il modulo di questa funzione viene rappresentato sul diagramma logaritmico riportato a fianco.
Vengono amplificate solo le frequenze basse, al di sotto della pulsazione di taglio

che per definizione è la pulsazione alla quale il guadagno si abbassa di 3dB rispetto al guadagno di centro banda; in prossimità di 1/τ il modulo del guadagno si abbassa al valore   e si ha uno sfasamento di ±45°.


Filtri attivi del I°ordine, passa-alto      

Una soluzione con A.O. in configurazione invertente è:

si avrebbe


oppure in configurazione non invertente dove è

si tratta in questo caso di una f.d.t. con un polo e uno zero del tipo:

La costruzione del diagramma di Bode è, in questo caso, leggermente più laboriosa:

Nel primo caso l'amplificazione massima in banda si ha per   

Nel secondo caso

in entrambi i casi la pulsazione di taglio si ha per 

Filtri attivi del I°ordine, passa-banda      

E' facile concludere come sia possibile produrre un filtro passa- banda combinando le due configurazioni precedenti.

 

Essendo la configurazione invertente:

il diagramma di Bode è pressoché identico a quello del filtro passa-alto, ma vi è la presenza di un polo supplementare o meglio vi sono due poli reali e distinti.

K è il guadagno a centro banda: una volta superata la pulsazione 1/τ1 il primo polo si elide con lo zero; questo vale finché il secondo polo non inizia ad influenzare la risposta.

con ωs=pulsazione di taglio superiore e ωi=pulsazione di taglio superiore.
Le formule che riassumono il comportamento dei filtri del I°ordine sono:

                Filtro passa-basso

La T(s) presenta un polo p= - ωn e un guadagno statico (s→0) KST=K.

                Filtro passa-alto

    Filtro passa-banda

 

Filtri attivi del II°ordine      

I filtri del II°ordine hanno la caratteristica di avere al denominatore della funzione di trasferimento una funzione di II°grado nella variabile s:

                               oppure nella forma equivalente:

               dove si è posto      

Le radici della D(s) forniscono i poli della funzione di trasferimento T(s).

                                                    [I]

La pulsazione ωn è la pulsazione di taglio che caratterizza i filtri passa-basso o passa-alto. Lo smorzamento ζ e il fattore di merito Q definiscono il comportamento della risposta in frequenza.

Per ζ;>1 i poli sono reali distinti.
Per ζ=1 i poli sono reali coincidenti.
Per ζ<1 i poli sono complessi coniugati.

Per consentire un veloce passaggio tra l'intervallo di frequenza in cui vi è conduzione e quello in cui il circuito opera l'azione filtrante si impone un valore per lo smorzamento ζ<1.

Filtro passa-basso del II°ordine      

La funzione di trasferimento assume la forma:

                                               [II]

La T(s) presenta due poli che per ζ<1 sono complessi coniugati. Per s=jω il modulo e la fase valgono:

                                [III]

                                                                     [IV]

per   (zona piatta ad amplificazione costante)

mentre per       

che nel grafico corrisponde ad una pendenza di -40dB/dec (due poli sovrapposti).

Se lo smorzamento  il filtro è detto di Butterworth;
i poli dati dalla [I] sono complessi e coniugati e valgono:

La risposta in frequenza del filtro è la più piatta possibile; in corrispondenza della pulsazione di taglio ωn il modulo T( jω) si riduce ad un valore   rispetto al valore massimo K.
Infatti, se nella [III] poniamo   e   avremo

in corrispondenza della pulsazione di taglio l'amplificazione si abbassa di 3dB rispetto al guadagno massimo alle basse frequenze.

 

La dislocazione dei poli di un filtro del II° ordine passa-basso di Butterworth è rappresentata qui a fianco.

Per   il filtro è detto di Bessel .

Se    il filtro è detto di Chebyshev e rende tanto più verticale la risposta in frequenza per  ω> ωn tanto quanto più ζ è piccolo. Per   ζ→0 in ω= ωn la [III] tende ad infinito e così la pendenza della curva diventa verticale.

La pulsazione ωM in cui |T(jω)| è massimo si ottiene ponendo a zero la derivata prima della [III] rispetto ad ω.

                            [V]

Sostituendo questo valore nella [III] si ha   

La pulsazione ωL si ottiene ponendo uguale a K il secondo membro della [III] ottenendo:

                     [VI]

se confrontiamo la [V] con la [VI] si ottiene:  .

Parametri per un filtro Chebyshev di II° ordine passa basso:


Filtro passa-alto del II°ordine      

La funzione di trasferimento assume la forma:

                             [VII]

La |T(s)| per ζ<1 presenta due poli complessi coniugati e due zeri nell'origine. In regime sinusoidale s=jω, il modulo e la fase valgono:

              [VIII]

                                         [IX]

per   ( zona piatta ad amplificazione costante ) mentre per

       che corrisponde ad una pendenza di +40dB/dec.

Nel caso di distribuzione di Butterworth     il modulo della T(jω) si riduce di  in corrispondenza di ω= ωn. Se poniamo, infatti, nella [VIII]    con ω= ωn:

La pulsazione di taglio ωn viene, dunque, definita sia per il filtro passa-alto che per quello passa-basso come la pulsazione che riduce di 3dB il valore massimo di |T(jω)|.

Per        il filtro è detto di Chebyshev e la risposta in frequenza nell'intorno di ωn è tanto più verticale quanto ζ è piccolo. Anche in questo secondo caso la risposta in frequenza presenta un picco di risonanza ad una pulsazione ωM che può essere calcolata ponendo a zero la derivata prima della [VIII]:

                       [X]

Sostituendo questo valore nella [VIII] si ha    come nel filtro passa-basso. La pulsazione ωL si ottiene ponendo uguale a K il secondo membro della [VIII] ottenendo:

         [XI]

Parametri per un filtro Chebyshev di II° ordine passa alto:

Filtro passa-banda del II°ordine      

La definizione dei filtri passa-banda del II° ordine viene fatta in funzione del fattore di merito   piuttosto che in ragione dello smorzamento ζ. Questo avviene per rendere assimilabili questi filtri con quelli con quelli passivi (passa-banda) di tipo RCL.
Di fatto il fattore di merito Q, definisce la larghezza di banda B:

  con fs=frequenza di taglio superiore ed fi=frequenza di taglio inferiore. Poi si dimostra che:

con f0=frequenza di centro-banda. La funzione di trasferimento di un filtro passa-banda del II° ordine è:

                              [XII]

Questa funzione ha uno zero due poli complessi coniugati per Q>1/2 In regime sinusoidale puro si ha:

           [XIII]

                    [XIV]

In questo disegno, la risposta in frequenza al variare di Q.

Il modulo, presenta un valore massimo per ω= ωn che vale:     

Fissato Q si ha una unica curva, da cui si desumono le pulsazioni di taglio inferiore ω i e superiore s come i valori di per i quali il guadagno si abbassa dal valore massimo K al valore   .Quindi:

si hanno le rispettive frequenze

La larghezza di banda è B=fs-fi sottraendo membro a membro

con  frequenza di centro banda.

Filtri a banda piatta      

Se Q<1/2 i poli diventano reali e distinti e la risposta in frequenza presenta una banda piatta a guadagno costante compresa fra ωi=|p1| e ωi=|p2|. La pendenza di |T(jω)| fuori banda è di 20dB/dec.

Configurazioni per filtri di II° ordine      

Le configurazioni fondamentali sono due:

Filtro a reazione multipla

Applicando il teorema di Millman

                                    [XV]

ma l'operazionale è in configurazione invertente, per cui:

     [XVI]

Sostituendo la [XV] nella [XVI]

      [XVII]

Filtro VCVS

Applicando il teorema di Millman

                              [XVIII]

Infatti le due ammettenze Y3 ed Y5 viste dal nodo A sono in serie. La tensione sul morsetto non invertente è:

                         [XIX]

L'amplificatore operazionale è in configurazione non invertente e per esso vale la:

                                                  [XX]

Per la [XIX] la [XX] diventa.

                                    [XXI]

Sostituendo la [XVIII] al posto di VA avremo:

                [XII]

con        

è comodo rappresentarli in funzione delle ammettenze Y (1/Z). I filtri VCVS (Voltage Controlled Voltage Source) sono così denominati per la reazione negativa controllata in tensione.

Filtro passa-basso a reazione multipla      

equazione principale:               

equazione circuitale                            da cui

                          

In fase di progetto, si fissano arbitrariamente K ωn Q e C2, ottenendo:

                                        

Filtro passa-alto a reazione multipla      

equazione principale:            

equazione circuitale                    si ottiene

                    

Per il progetto, si fissano arbitrariamente K ωn Q e C1=C2, ottenendo:

                                               

Filtro passa-banda a reazione multipla      

Equazione principale     

Equazione circuitale          ottenendo

           

                              

Per il progetto, si fissati K ωn Q e C1=C2=C si ottiene:

                 

Filtro passa-basso VCVS      

equazione principale:               

equazione circuitale                    

                        

Per il progetto, si fissati K ωn Q C1 ed RA si ottiene:

                  

Filtro passa-alto VCVS      

equazione principale:            

equazione circuitale              

         

Per il progetto fissati ωn K Q C1=C2=C ed RA.

Nel caso particolare in cui tutti i componenti siano uguali R1=R2=R e C1=C2=C si ha:

Filtro passa-banda VCVS      

Equazione principale     

Equazione circuitale     

Per il progetto, si fissati ωn Q C ed RA si ottiene:

 

 

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