edutecnica
 

Varianza                                                  

Il   valor medio di una variabile statistica       fornisce una previsione del valore più probabile che si ottiene in un gran numero di prove, ma non da indicazioni di quanto un generico valore della variabile può differire dal suo valor medio.
Data una variabile casuale X, si definisce   scarto  la differenza fra un qualsiasi valore xi della variabile e il valor medio μ.

( xi - μ ) =x'≡ scarto

in una distribuzione statistica, il valor medio della variabile scarto è sempre uguale a zero.
La dispersione dei valori attorno alla media (speranza matematica) sarà tanto minore quanto più piccole sono queste quantità. Dato che queste quantità sono in parte negative, viene preso in considerazione il quadrato per ottenere un valore indipendente dal segno.

La varianza σ2 viene definita come

varianza

La varianza identifica la dispersione dei valori della variabile X attorno al valor medio.
Tanto più piccola è la varianza, tanto più i valori della variabile sono concentrati attorno al valor medio.

Se i valori xi hanno frequanze diverse, cioè appaiono più volte nelle osservazioni con x1 che ha frequenza f1 con x2 che ha frequenza f2 e così via le probabilità pi sono ottenute come:

   quindi la formula della varianza può anche essere espressa come:

Poichè la varianza è una quantità di secondo grado, si preferisce spesso usare la deviazione standard o scarto quadratico medio denominato semplicemente σ.

  Riassumendo   :

La varianza è uguale a zero quando tutti i valori della variabile sono uguali e quindi non c'è variabilità nella distribuzione; in ogni caso è positiva e misura il grado di variabilità di una distribuzione.
Tanto maggiore è la varianza tanto più i valori sono dispersi.
Tanto minore è la varianza tanto più i valori di X sono concentrati attorno al valor medio.
La varianza viene usata nella teoria delle decisioni come misura della rischiosità di una distribuzione.
Se due distribuzioni hanno la stessa media e varianza diversa, la distribuzione con varianza maggiore è la più rischiosa (lo scarto è maggiore).


   Esempio   : calcolare valor medio e varianza per la seguente distribuzione:

xi pi pixi xi (xi-μ)2 pi(xi-μ)2
2 0,05 0,1 -2,2 4,84 0,242
3 0,2 0,6 -1,2 1,44 0,288
4 0,35 1,4 -0,2 0,04 0,014
5 0,3 1,5 0,8 0,64 0,192
6 0,1 0,6 1,8 3,24 0,324
    m=4,2     σ2=1,06


edutecnica