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Speranza matematica       

In generale, quando si è in presenza di fenomeni probabilistici, non è indispensabile definire completamente una variabile casuale ma è sufficiente indicare solo alcuni parametri numerici che definiscono i tratti essenziali di questa variabile, come il valor medio e la deviazione standard.
Questi parametri hanno, infatti, la caratteristica di esprimere in modo compatto e sintetico tutte le informazioni della variabile aleatoria in esame e permettono di semplificare la soluzione della gran parte dei problemi in cui si deve usare tale variabile.
Quando in un problema siamo in presenza di qualche variabile aleatoria, per ricercare il risultato non è, dunque, necessario conoscere perfettamente la distribuzione di probabilità della variabile ma è sufficiente conoscere alcune caratteristiche numeriche come la localizzazione o posizione (valor medio) per valutare la zona di massima probabilità della variabile e la dispersione attorno al valore più probabile (deviazione standard).

La speranza matematica è, in pratica, il valor medio di una variabile casuale X; è un numero che rappresenta la variabile e spesso può sostituirla. Viene indicata talvolta con l'espressione E(X) ma coincidendo col valor medio può anche essere indicata M(X) o μ. La speranza matematica indica la posizione della variabile X lungo un asse numerico attorno al quale si raggruppano tutti i valori, quindi, individua il valore atteso della variabile X; questo valore è la media ponderata di tutti i valori della variabile, con ciascun valore che risulta pesato in base alla probabilità di verificarsi.

   dato che       si ha

Ad esempio : per la seguente distribuzione di probabilità

si nota l'analogia di queste formule con quella della media aritmetica ponderata usata in statistica, solo che in quel caso vengono usate le frequenze relative invece che quelle assolute. Esiste infatti un parallelismo tra variabili aleatorie e le variabili statistiche:

Le variabili aleatorie sono originate da esperimenti casuali, mentre quelle statistiche provengono dall'osservazione empirica di fenomeni reali.
Per le variabili aleatorie in corrispondenza di ciascun valore della variabile si considera la probabilità, mentre per le variabili statistiche si considera la frequenza empirica.

L'importanza della teoria delle probabilità è basata sul fatto che, quando le frequenze relative possono essere equiparate a probabilità teoriche, i risultati teorici possono essere usati in applicazioni pratiche. Ad esempio i giochi equi sono un'applicazione del concetto di valor medio di una variabile casuale (o speranza matematica).

Se in un gioco si ha la probabilità p di vincere una somma S, si definisce speranza matematica della somma S il prodotto della somma S per la probabilità p. Ossia

La speranza matematica è in pratica, il valor medio di una variabile casuale

X = si vince una somma S

con la seguente distribuzione di probabilità:

Ad esempio : si vincono 12 € se da un urna contenente 3 palline di cui una verde una blu ed una rossa si estrae la pallina verde.

La speranza di estrarre la pallina verde è     dunque la speranza matematica è

     cioè 4 €

Il risultato è un valor medio e, dato che la variabile casuale è legata alle vincite, rappresenta l'importo che si guadagna , in media, facendo un gran numero di estrazioni e assumendo la probabilità di "estrazione della pallina verde" come previsione di frequenza.

Si può generalizzare la definizione considerando diverse vincite di differenti importi S1 , S2 , ... , Sn positivi o negativi (guadagni o perdite) al verificarsi di uno degli n eventi cui corrispondono i precedenti importi, considerando che gli eventi devono essere indipendenti e complementari con rispettive probabilità p1 , p2 , ... , pn tali che .

Si dice speranza matematica la somma dei prodotti degli importi S1 , S2 , ... , Sn per le rispettive probabilità p1 , p2 , ... , pn .

Ad esempio : Un giocatore partecipa ad un gioco con un dado. Il giocatore lancia un dado e
vince 4€ se esce il 5
vince 2€ se esce un numero minore di 3
in tutti gli altri casi deve pagare 1€

X=guadagno del giocatore

essendo     si ha la distribuzione

La sua speranza matematica è allora

in un grande numero di tentativi, la sua vincita media sarà di 0,83 €.