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Misure di tendenza centrale                                

Le misure di tendenza centrale mirano a sintetizzare la "posizione del centro ideale" sul quale tendono a gravitare gli elementi della distribuzione di una variabile casuale e devono fornire, in relazione al fenomeno che si conosce, una visione d'insieme di tutti gli elementi.



le misure del primo gruppo tengono conto di tutti i valori della distribuzione.
Le misure appartenenti al secondo gruppo si ottengono scegliendo particolari elementi della distribuzione.

Le misure di tendenza centrale vengono anche indicate con il termine medie o valori medi in quanto soddisfano sempre alla seguente definizione alla definizione di media data dal matematico Cauchy:
Si chiama media tra più quantità date una quantità compresa tra la maggiore e la minore delle quantità considerate.

Media aritmetica                                    

Si definisce media aritmetica di più numeri, quel valore che sostituito ai dati lascia invariata la loro somma.

Il significato della media aritmetica è di equipartizione della somma indicando con x1, x2,… xn i numeri dati si deve avere:

per cui:

             media aritmetica semplice     

una proprietà importante della media aritmetica è che la somma degli scarti e uguale a zero:

un'altra proprietà è che la somma dei quadrati degli scarti è minima rispetto a qualsiasi altro numero.

Se i valori xi hanno frequenze diverse, cioè appaiono più volte nelle osservazioni, con x1 che ha frequenza f1 e x2 con frequenza f2 e così via, la condizione di invarianza della somma diventa:

      media aritmetica ponderata    

Si chiama media aritmetica ponderata, perchè le varie frequenze fi sono dette anche "pesi".
Si riconosce come la media aritmetica semplice, non sia altro che un caso particolare di media aritmetica ponderata con valori di fi=1 , per ciascuna ricorrenza dei valori xi della variabile statistica studiata.

Si nota che cioè il rapporto tra la frequenza con cui si manifesta una ricorrenza xi ed il numero totale degli eventi n, non è altro che la probabilità che ha il valore xi di manifestarsi, di conseguenza si può anche dire

Il valor medio ( anche chiamato valore atteso o valore vero) può essere indicato a secondo delle circostanze col simbolo μ o con M(X).

Media geometrica                                

Serve per riassumere distribuzioni di dati i cui valori variano con progressione geometrica.
E' usata ad esempio per misurare il tasso di incremento o di decremento di un fenomeno.
Deriva dall'equipartizione del prodotto: se i valori sono tutti positivi e non nulli si può calcolare la media geometrica.

Si definisce media geometrica dei valori x1, x2,..xn quel numero G che sostituito ai valori di xi
lascia invariato il loro prodotto.

     da cui si ricava:

            media geometrica semplice   

se i vari xi hanno frequenze o pesi fi:

                media geometrica ponderata   

con      

G viene usata per rappresentare valori riferiti a dati moltiplicativi, caratterizza distribuzioni in in cui dati variano in progressione geometrica.

Media armonica                                

E' usata quando i dati sono inversamente proporzionali al fenomeno che si sta osservando
Media armonica semplice:

in presenza di frequenze f1,f2,..,fn avremo la media armonica ponderata :

Media quadratica                                

Viene usata quando i datisi presentano con segni positivi e negativi, ed è quindi necessaria una media indipendente dal segno.
      media quadratica semplice  
in presenza di frequenze avremo la media quadratica ponderata
     media quadratica ponderata  


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