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Teorema di Bayes            

Un importante teorema della teoria della probabilità e della statistica è il teorema di Bayes, esso è basato sul concetto di probabilità condizionata . Viene impiegato per calcolare la probabilità della causa che, a priori, ha generato un dato evento verificato a posteriori.
Come detto, una prima formulazione del teorema di Bayes ( o teorema della probabilità delle cause) si ricava dal principio della probabilità composta.

Consideriamo uno spazio dei campioni costituito da n eventi mutuamente (reciprocamente) esclusivi: A1, A2,...An.

Ipotizziamo che questi eventi A1, A2,...An costituiscano una partizione dello spazio dei campioni; questo significa che l'intersezione di due eventi qualsiasi è sempre nulla e l'unione di tutti gli eventi Ai costituisce lo spazio dei campioni (universo degli eventi).

Consideriamo ora un altro evento B dello stesso spazio dei campioni e supponiamo che siano note le probabilità P(Ai) e le probabilità condizionate P(B|Ai); in queste condizioni è possibile calcolare la probabilità

dove quando B ∩ Ai=∅ si ha P(B∩Ai)=0; per il teorema del prodotto risulta

sostituendo si ha

ossia        teorema della probabilità totale

Ad esempio : si hanno tre cassetti uguali contenenti
il primo 3 anelli di argento e 1 d'oro
il secondo 1 anello di argento e 3 d'oro
il terzo 2 anelli di argento

si apre un cassetto a caso e si prende un anello a caso, qual'è la probabilità di prendere un anello d'oro?

Indichiamo con B l'evento di aver trovato un anello d'oro e con A1 A2 e A3 l'eventualità di aver aperto il primo, il secondo o il terzo cassetto.
Dato che i cassetti sono uguali possiamo assumere come probabilità :

   il primo cassetto contiene 1 anello d'oro su 4

   il secondo cassetto contiene 2 anelli d'oro su 3

   il terzo cassetto contiene 0 anelli d'oro su 2

Per il teorema della probabilità totale si ha

aprendo un cassetto a caso, la probabilità di prendere un anello d'oro è di 11/36.

supponendo, ora, di sapere che l'evento B si è verificato calcoliamo la probabilità che si verifichi l'evento Ai. Dal teorema del prodotto si ha

da cui si ottiene

sostituendo il valore di P(B) con quello trovato nel teorema della probabilità totale si ottiene la formula di Bayes:

Ad esempio : Si hanno tre urne A1 A2 e A3 che contengono delle palline
A1: 12 rosse e 8 verdi
A2: 10 rosse e 15 verdi
A3: 9 rosse e 6 verdi
Si lancia un dado e se il punto non è superiore a 3 si estrae una pallina dall' urna A1, se viene un numero superiore a 4 si estrae una pallina dall'urna A2 se esce il numero 4 si estrae la pallina dall'urna A3.
Esce una pallina rossa: quale è la probabilità che essa sia stata estratta dall'urna A1?

indichiamo con
R: pallina rossa
V: pallina verde

indichiamo con A1 , A2 e A3 gli eventi
A1: viene estratta una pallina dall'urna A1
A2: viene estratta una pallina dall'urna A2
A3: viene estratta una pallina dall'urna A3
dunque avremo

   probabilità che venga estratta una pallina dall'urna A1.

   probabilità che venga estratta una pallina dall'urna A2.

   probabilità che venga estratta una pallina dall'urna A3.

per l'urna A1 avremo

   probabilità di estrarre una pallina rossa dall'urna A1.

   probabilità di estrarre una pallina verde dall'urna A1.

per l'urna A2 avremo

   probabilità di estrarre una pallina rossa dall'urna A2.

   probabilità di estrarre una pallina verde dall'urna A2.

per l'urna A3 avremo

   probabilità di estrarre una pallina rossa dall'urna A3.

   probabilità di estrarre una pallina verde dall'urna A3.

secondo questo schema

per la pallina rossa (R) avremo

applicando il teorema di Bayes otteniamo la probabilità che la pallina rossa sia stata estratta all'urna A1: