Adattamento di modelli probabilistici a distribuzioni empiriche

  

Gli studiosi di statistica si sono sempre posti il problema di associare le osservazioni di fenomeni concreti a schemi teorici classici. Il problema della 'bontà dell'adattamento' può essere risolto con approcci diversi anche se il metodo del test del chi-quadro rappresenta ancora la tecnica più diffusa per la sua generalità e per i molteplici tipi di confronto che permette di effettuare.

Test chi-quadro

     

Il metodo consiste in una procedura di confronto tra le frequenze empiriche osservate e le frequenze teoriche; se abbiamo:

n : il numero totale di elementi del campione
k : le modalità della distribuzione
f_i :le frequenze assolute empiriche osservate
p_i : le probabilità teoriche di modalità i
n·p_i : le frequenze assolute teoriche di modalità i
χ² : è una variabile di distribuzione χ² .

Per applicare correttamente il test occorre che nessuna frequenza teorica sia minore di 5. Se dal calcolo risulta che qualche frequenza teorica è minore di 5, per effettuare il confronto bisogna raggruppare due o più modalità; k è dunque, il numero di modalità (classi) finali che si ottengono.

Il numero di gradi di libertà ν delle distribuzione chi-quadro risulta essere

ν=k-1 se la distribuzione delle frequenze teoriche può essere determinata senza usare dati campionari.
ν=k-1-m se la distribuzione delle frequenze teoriche può essere determinata stimando m parametri della popolazione tramite i valori campionari.

Fissato un valore critico χ_c² legato ad un fissato livello di significatività per un determinato
ν : numero di gradi di libertà, se:
χ² < χ_c²     l'approssimazione è accettabile.

Esempio: adattamento di una distribuzione uniforme
Si vuole verificare se un dado è truccato ad un livello di significatività del 5%.
Il dado viene lanciato per n=60 volte; la tabella di comparazione tra le frequenze empiriche ottenute e quelle teoriche è la seguente:

valore	freq.empirica	freq.teorica
1	11	10
2	9	10
3	6	10
4	14	10
5	13	10
6	7	10

La soluzione di questo tipo di problema è facilitato dall'uso di fogli di calcolo

ma normalmente, durante il compito in classe, si può usare solo la calcolatrice e la tabella del chi-quadro.
In questo caso, ciascuna frequenza teorica vale    .   Facciamo il test:

Osservando la tabella della coda di destra il valore di χ² per ν=5 in corrispondenza del valore di probabilità 0,05 si ha :       
χ_c²=11,07 > 5,2 =χ² l'approssimazione alla distribuzione uniforme è accettabile.

Esempio: adattamento di una distribuzione binomiale
Viene eseguita una rilevazione per studiare il numero di nascite maschili in famiglie con 5 figli, esaminando in totale n=1000 famiglie ottenendo le frequenze empiriche

num.maschi	0	1	2	3	4	5
freq.emp.	30	140	316	309	174	31

Si chiede di adattare ai dati empirici ottenuti una distribuzione binomiale ad un livello di significatività del 5%.

Questa volta valutiamo la probabilità:       

poi     

calcolando i vari valori della distribuzione    si ha

p_o=0,0282 ; p₁=0,1470 p₂=0,3060 ; p₃=0,3185 ; p₄=0,1657 ;  p₅=0,0345

dalle probabilità otteniamo le frequenze teoriche

num.maschi	0	1	2	3	4	5
freq.teo.	28	147	306	318	166	35

Sono k=6 osservazioni ed m=1 perché le frequenze teoriche sono state determinate studiando la probabilità attraverso i dati campionari; i gradi di libertà sono: &nu;=k-1-m=6-1-1=4

Dall'esame della coda superiore della distribuzione chi-quadro ad un livello di significatività dello 0,05 si ha
χ_c²=9,49 > 1,9 =χ² l'approssimazione alla distribuzione binomiale è accettabile.

Esempio: adattamento di una distribuzione di Poisson
Vengono esaminate 500 macchinari prodotti da una certa fabbrica ed è stata constatata la seguente distribuzione del numero di difetti per ciascuna macchina:

num.difetti	0	1	2	3	4
num.pezzi	225	183	64	23	5

Si adatti una distribuzione di Poisson con livello di significatività del 5%.

Calcoliamo la media         

Calcoliamo i vari valori della distribuzione con la formula di Poisson    

p_o=0,4493 ; p₁=0,3594 ; p₂=0,1438 ; p₃=0,0383 ; p₄=0,0077

queste appena ottenute sono le probabilità teoriche; le frequenze conseguenti sono

f_o=500·n_o=225
f₁=500·n₁=180
f₂=500·n₂=72
f₃=500·n₃=19
f₄=500·n₄=4

Qui, dobbiamo fare un pò di attenzione, perché l'ultima frequenza teorica è 4 (< 5) quindi le ultime due modalità devono essere raggruppate.

num difetti	freq.empiriche	freq.teoriche
0	225	225
1	183	180
2	64	72
3	28	23

calcoliamo χ².

m=1 perché il valor medio è stato ottenuto dai dati sperimentali; mentre per le osservazioni vale l'ultima tabella, cioè k=4. Il numero di gradi di libertà è ν=k-1-m=4-1-1=2 dalla coda superiore della distribuzione chi-quadro si vede che

χ_c²=5,99 > 2,02 =χ² l'approssimazione alla distribuzione di Poisson è considerata soddisfacente.

Esempio: adattamento di una distribuzione normale
Viene misurata la statura di 1000 soggetti maschi che hanno tutti la stessa età, ottenendo la seguente descrizione

statura	num.
145<	1
145-150	3
150-155	27
155-160	100
150-165	231
165-170	287
170-175	220
175-180	101
180-185	24
185-190	5
>190	1

A ciascuna modalità viene assegnato il valore intermedio e in modo analogo alla classe aperta più alta viene assegnato il valore 192,5 a quella aperta inferiore 142,5.
Adattiamo la distribuzione con una normale ad un livello di significatività del 5%.

Calcoliamo la media

poi otteniamo la varianza e la deviazione standard

trasformiamo gli estremi degli intervalli nella variabile z standardizzata

Si ottiene la seguente tabella dove possono essere riportati anche i valori arrotondati delle frequenze teoriche

Bisogna raggruppare le prime e le ultime due modalità perché la prima e l'ultima classe hanno frequenza teorica minore di 5. Le osservazioni diventano dunque k=9 m=2 perché dai dati empirici sono state usate media e varianza. ν=k-1-m=9-1-2=6 .

ad un livello di significatività del 5% con 6 gradi di libertà, risulta dalla tabella del chi-quadro

χ_0,95²=12,6

Dato che χ_c²=12,6 > 2,294 =χ² l'approssimazione alla distribuzione normale è da considerare buona.