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Adattamento di modelli probabilistici a distribuzioni empiriche        

Gli studiosi di statistica si sono sempre posti il problema di associare le osservazioni di fenomeni concreti a schemi teorici classici. Il problema della 'bontà dell'adattamento' può essere risolto con approcci diversi anche se il metodo del test del chi-quadro rappresenta ancora la tecnica più diffusa per la sua generalità e per i molteplici tipi di confronto che permette di effettuare.

Test chi-quadro                                                  

Il metodo consiste in una procedura di confronto tra le frequenze empiriche osservate e le frequenze teoriche; se abbiamo:

n : il numero totale di elementi del campione
k : le modalità della distribuzione
fi :le frequenze assolute empiriche osservate
pi : le probabilità teoriche di modalità i
n·pi : le frequenze assolute teoriche di modalità i
χ2 : è una variabile di distribuzione χ2 .

Per applicare correttamente il test occorre che nessuna frequenza teorica sia minore di 5. Se dal calcolo risulta che qualche frequenza teorica è minore di 5, per effettuare il confronto bisogna raggruppare due o più modalità; k è dunque, il numero di modalità (classi) finali che si ottengono.

Il numero di gradi di libertà ν delle distribuzione chi-quadro risulta essere

ν=k-1 se la distribuzione delle frequenze teoriche può essere determinata senza usare dati campionari.
ν=k-1-m se la distribuzione delle frequenze teoriche può essere determinata stimando m parametri della popolazione tramite i valori campionari.

Fissato un valore critico χc2 legato ad un fissato livello di significatività per un determinato
ν : numero di gradi di libertà, se:
χ2 < χc2     l'approssimazione è accettabile.

Esempio: adattamento di una distribuzione uniforme
Si vuole verificare se un dado è truccato ad un livello di significatività del 5%.
Il dado viene lanciato per n=60 volte; la tabella di comparazione tra le frequenze empiriche ottenute e quelle teoriche è la seguente:

valore freq.empirica freq.teorica
1 11 10
2 9 10
3 6 10
4 14 10
5 13 10
6 7 10

La soluzione di questo tipo di problema è facilitato dall'uso di fogli di calcolo

ma normalmente, durante il compito in classe, si può usare solo la calcolatrice e la tabella del chi-quadro.
In questo caso, ciascuna frequenza teorica vale    .   Facciamo il test:

Osservando la tabella della coda di destra il valore di χ2 per ν=5 in corrispondenza del valore di probabilità 0,05 si ha :       χc2=11,07 > 5,2 =χ2 l'approssimazione alla distribuzione uniforme è accettabile.

Esempio: adattamento di una distribuzione binomiale
Viene eseguita una rilevazione per studiare il numero di nascite maschili in famiglie con 5 figli, esaminando in totale n=1000 famiglie ottenendo le frequenze empiriche

num.maschi 0 1 2 3 4 5
freq.emp. 30 140 316 309 174 31

Si chiede di adattare ai dati empirici ottenuti una distribuzione binomiale ad un livello di significatività del 5%.

Questa volta valutiamo la probabilità:       

poi     

calcolando i vari valori della distribuzione    si ha

po=0,0282 ; p1=0,1470 p2=0,3060 ; p3=0,3185 ; p4=0,1657 ;  p5=0,0345

dalle probabilità otteniamo le frequenze teoriche

num.maschi 0 1 2 3 4 5
freq.teo. 28 147 306 318 166 35

Sono k=6 osservazioni ed m=1 perché le frequenze teoriche sono state determinate studiando la probabilità attraverso i dati campionari; i gradi di libertà sono: ν=k-1-m=6-1-1=4

Dall'esame della coda superiore della distribuzione chi-quadro ad un livello di significatività dello 0,05 si ha
χc2=9,49 > 1,9 =χ2 l'approssimazione alla distribuzione binomiale è accettabile.

Esempio: adattamento di una distribuzione di Poisson
Vengono esaminate 500 macchinari prodotti da una certa fabbrica ed è stata constatata la seguente distribuzione del numero di difetti per ciascuna macchina:

num.difetti 0 1 2 3 4
num.pezzi 225 183 64 23 5

Si adatti una distribuzione di Poisson con livello di significatività del 5%.

Calcoliamo la media         

Calcoliamo i vari valori della distribuzione con la formula di Poisson    

po=0,4493 ; p1=0,3594 ; p2=0,1438 ; p3=0,0383 ; p4=0,0077

queste appena ottenute sono le probabilità teoriche; le frequenze conseguenti sono

fo=500·no=225
f1=500·n1=180
f2=500·n2=72
f3=500·n3=19
f4=500·n4=4

Qui, dobbiamo fare un pò di attenzione, perché l'ultima frequenza teorica è 4 (< 5) quindi le ultime due modalità devono essere raggruppate.

num difetti freq.empiriche freq.teoriche
0 225 225
1 183 180
2 64 72
3 28 23

calcoliamo χ2.

m=1 perché il valor medio è stato ottenuto dai dati sperimentali; mentre per le osservazioni vale l'ultima tabella, cioè k=4. Il numero di gradi di libertà è ν=k-1-m=4-1-1=2 dalla coda superiore della distribuzione chi-quadro si vede che

χc2=5,99 > 2,02 =χ2 l'approssimazione alla distribuzione di Poisson è considerata soddisfacente.

Esempio: adattamento di una distribuzione normale
Viene misurata la statura di 1000 soggetti maschi che hanno tutti la stessa età, ottenendo la seguente descrizione

statura num.
145< 1
145-150 3
150-155 27
155-160 100
150-165 231
165-170 287
170-175 220
175-180 101
180-185 24
185-190 5
>190 1

A ciascuna modalità viene assegnato il valore intermedio e in modo analogo alla classe aperta più alta viene assegnato il valore 192,5 a quella aperta inferiore 142,5.
Adattiamo la distribuzione con una normale ad un livello di significatività del 5%.

Calcoliamo la media

poi otteniamo la varianza e la deviazione standard

trasformiamo gli estremi degli intervalli nella variabile z standardizzata

Si ottiene la seguente tabella dove possono essere riportati anche i valori arrotondati delle frequenze teoriche

classi freq.empiriche zmin zmax prob. freq.teoriche
145< 1   -3,26 0,0006 1
145-150 3 -3,26 -2,54 0,005 5
150-155 27 -2,54 -1,81 0,0296 30
155-160 100 -1,81 -1,08 0,1050 105
160-165 231 -1,08 -0,36 0,2194 219
165-170 287 -0,36 0,37 0,2852 285
170-175 220 0,37 1,1 0,2197 220
175-180 101 1,1 1,82 0,1013 101
180-185 24 1,82 2,55 0,029 29
185-190 5 2,55 3,28 0,0049 5
>190 1 3,28   0,0005 0

Bisogna raggruppare le prime e le ultime due modalità perché la prima e l'ultima classe hanno frequenza teorica minore di 5. Le osservazioni diventano dunque k=9 m=2 perché dai dati empirici sono state usate media e varianza. ν=k-1-m=9-1-2=6 .

ad un livello di significatività del 5% con 6 gradi di libertà, risulta dalla tabella del chi-quadro

χ0,952=12,6

Dato che χc2=12,6 > 2,294 =χ2 l'approssimazione alla distribuzione normale è da considerare buona.

 

 

 

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